Zweistufige Zahlenrätsel lösen

So lässt sich das Material nutzen

Für den gemeinsamen Beginn kann eine Aufgabe vorgelesen und die zugehörige Kette erklärt werden. Anschließend notieren die Kinder Umkehrung und Probe und bearbeiten eine neue Aufgabe selbstständig. Beim Besprechen hilft die Frage, welche Rechnung die Zahl findet und welche Rechnung sie kontrolliert.

In einer Wochenplanphase können ausgewählte Blätter bereitliegen. Nach der eigenen Bearbeitung ist ein Partnervergleich möglich. Dabei sollten auch unterschiedliche Ergebnisse mit der ursprünglichen Rechnung überprüft werden. Für die häusliche Wiederholung kann ein Erwachsener beim Lesen unterstützen und anschließend eine neue Aufgabe ohne Vorsagen bearbeiten lassen.

Auf einen Blick

• 10 Arbeitsblätter mit je vier Zahlenrätseln, insgesamt 40 Aufgaben.
• Vier Kombinationen: Addition–Multiplikation, Subtraktion–Multiplikation, Multiplikation–Addition und Division–Addition.
• Gesuchte Ausgangszahlen im natürlichen Zahlenbereich; alle Ergebnisse sind positiv.
• Einstieg mit kleineren Zahlen, danach wachsende Rechenanforderungen; alle Divisionen ohne Rest.
• Vorwärtsketten mit leerem Startfeld, zwei Operationskästchen und gegebenem Ergebnis.
• Freie Rechenbereiche für Umkehrrechnung und Einsetzprobe.
• 2 Lösungsseiten, 2 didaktische Hilfsseiten, Cover und Information für Lehrkräfte.
• 16 Seiten insgesamt im A4-Hochformat als PDF.

Fachlicher Schwerpunkt und Lernziel

Die Lernenden machen zwei aufeinanderfolgende Operationen rückgängig. Dazu beginnen sie mit der letzten Operation und kehren danach den davorliegenden Schritt um. Die Wahl der Gegenoperation allein genügt also nicht: Auch die umgekehrte Reihenfolge muss beachtet werden. Die Ausgangszahl ist unbekannt, während beide Operationen und der Endwert gegeben sind.

Die Kinder notieren Umkehrung und Probe mit einem Zwischenwert. Dadurch lässt sich erkennen, ob sie beide Schritte berücksichtigt haben. Die Probe folgt der ursprünglichen Reihenfolge von links nach rechts. Alle Aufgaben bleiben im natürlichen Zahlenbereich; Divisionen gehen ohne Rest auf. Der Schwerpunkt passt zum Lösen von Zahlenrätseln durch Umkehraufgaben im bayerischen LehrplanPLUS der fünften Mittelschulklasse.

So arbeiten die Lernenden

Zunächst wird der Rätseltext gelesen. Aufgabe 1A beschreibt: Erst werden zur gesuchten Zahl 5 addiert, danach wird mit 2 multipliziert. Am Ende steht 32. Die Kette zeigt ein leeres Startfeld, + 5, · 2 und das Ergebnis 32.

Rückwärts wird zuerst die Multiplikation umgekehrt: 32 : 2 = 16. Danach wird die Addition rückgängig gemacht: 16 − 5 = 11. Die gesuchte Ausgangszahl ist 11. Zur Probe werden beide ursprünglichen Schritte ausgeführt: 11 + 5 = 16 und 16 · 2 = 32. Umkehrung und Probe können im großen freien Bereich darunter stehen.

Bei Aufgabe 1B werden zuerst 8 abgezogen und danach wird mit 3 multipliziert; der Endwert beträgt 117. Hier führt 117 : 3 = 39 und anschließend 39 + 8 = 47 zur Ausgangszahl. Die Probe (47 − 8) · 3 = 39 · 3 = 117 bestätigt beide Schritte.

Die Pfeile der gedruckten Ketten zeigen immer nach rechts. Sie stellen den beschriebenen Rechenweg dar. Die Umkehrrechnung wird darunter notiert und verändert die Pfeilrichtung auf dem Blatt nicht. Dieser Unterschied kann beim gemeinsamen Einstieg ausdrücklich besprochen werden.

Aufbau und Lernprogression

Blatt 1 und 2 dienen dem Einstieg mit kleineren Zahlen und überschaubaren Rechnungen. Jedes Blatt enthält vier Kombinationen: Addition vor Multiplikation, Subtraktion vor Multiplikation, Multiplikation vor Addition und Division vor Addition. Damit müssen die Lernenden zwischen unterschiedlichen Umkehrfolgen unterscheiden.

Die Blätter 3 bis 7 erweitern den Rechenumfang. Auf den Blättern 8 bis 10 kommen größere Ausgangszahlen, Faktoren und Divisoren vor. Die vier Kombinationen bleiben erhalten. Die Lernenden können sich dadurch auf die richtige Schrittfolge konzentrieren und gleichzeitig anspruchsvollere Rechnungen bearbeiten. Eine Lehrkraft kann passende Blätter auswählen und den Umfang der Begleitung an den Lernstand anpassen.

Differenzierung und Fördermöglichkeiten

Hilfen können beim Lesen, bei der Wahl der Umkehroperation oder beim Ausrechnen ansetzen. Zunächst lässt sich die beschriebene Operation benennen. Danach wird geklärt, welche Gegenoperation zur Ausgangszahl zurückführt. Erst dann folgt die Rechnung mit den konkreten Zahlen.

Bei zusätzlichem Unterstützungsbedarf kann eine Aufgabe gemeinsam gelöst werden. Ob der Zusammenhang verstanden wurde, zeigt eine weitere selbstständige Aufgabe. Kinder, die sicher arbeiten, können ihre Probe erklären oder ein eigenes zweistufiges Zahlenrätsel für einen Partner formulieren. Solche zusätzlichen Rätsel sind eine mögliche Unterrichtserweiterung und gehören nicht zu den 40 gedruckten Aufgaben.

Lösungen und Kontrolle

Alle Lösungen nennen die gesuchte Zahl innerhalb der vollständigen Umkehrrechnung. Die anschließende Probe setzt diese Zahl in die vorgegebene Operation ein. Damit können sowohl das Ergebnis als auch die gewählte Rechenbeziehung verglichen werden.

Eine richtige Ausgangszahl ohne notierte Probe kann Anlass für eine gezielte Ergänzung sein. Bei einer falschen Zahl wird geprüft, ob die falsche Gegenoperation gewählt wurde oder ein Rechenfehler vorliegt. Diese Unterscheidung hilft, eine passende Rückmeldung zu geben. Die Lösungsseiten sollten erst nach der eigenen Bearbeitung zur Kontrolle genutzt werden.

Vorbereitung und Material

Die gewünschten Arbeitsblätter ausdrucken und einen Stift bereitlegen. Die freien Rechenbereiche sind Bestandteil der Aufgaben und können direkt beschrieben werden. Weiteres Rechenpapier kann bei Bedarf ergänzt werden, wenn ein Kind besonders groß schreibt oder zusätzliche Zwischenschritte notieren möchte.

Vor dem selbstständigen Start sollten die Begriffe Umkehrung und Probe an einem Beispiel geklärt sein. Für die vorhandenen Aufgaben werden keine zusätzlichen Geräte, Messwerkzeuge oder ausgeschnittenen Materialien benötigt.

Warum dieses Material hilfreich sein kann

Rätseltext, Rechenkette und eigener Rechenbereich stehen zusammen in einer Aufgabenkachel. So lässt sich die Verbindung zwischen sprachlicher Handlung und Rechnung direkt am selben Beispiel besprechen. Die leere Stelle befindet sich konsequent am Anfang der Kette. Zwei Operationskästchen und drei nach rechts gerichtete Pfeile machen die Abfolge sichtbar.

Vier große Kacheln je Blatt bieten Platz für eigene schriftliche Rechnungen. Die Kinder können ihre Überlegung nachvollziehbar festhalten, statt nur eine Zahl einzutragen. Die durchgängige Einsetzprobe gibt außerdem einen konkreten Anlass, eine gefundene Zahl selbst zu kontrollieren. Farbige Konturen und Buchstaben helfen bei der Orientierung; sämtliche Texte und Schreibbereiche stehen auf weißen Flächen.