Potenzen mit negativen Basen

So lässt sich das Material nutzen

Beginnen Sie mit einem geraden Vergleichspaar. Lassen Sie beide Terme vollständig als Produkte aufschreiben und besprechen Sie, welche Faktoren tatsächlich potenziert werden. Anschließend kann ein ungerades Paar betrachtet werden. Dort zeigt sich, dass die unterschiedliche Schreibweise trotz verschiedener Bedeutung denselben Wert ergeben kann.

In Partnerarbeit kann ein Kind die Faktorenfolge lesen und das andere das Vorzeichen begründen. Danach berechnen beide den Betrag und vergleichen ihre Ergebnisse. Für eine kurze Übungsphase reicht ein einzelnes Blatt. Die zwei Aufgabenpaare können auch nacheinander besprochen werden, damit der Unterschied zwischen geraden und ungeraden Exponenten deutlich bleibt.

Auf einen Blick

• 10 Arbeitsblätter mit jeweils vier Termen
• 40 verschiedene Terme in 20 Vergleichspaaren
• 20 Potenzen mit negativer Basis in Klammern
• 20 Terme mit einem Minus vor der Potenz
• 10 Vergleichspaare mit geradem Exponenten
• 10 Vergleichspaare mit ungeradem Exponenten
• Basisbeträge von 2 bis 8
• Exponenten von 2 bis 7
• Wertebeträge bis 512
• Vier große weiße Rechenfelder je Blatt
• 40 Ergebnisse und 40 vollständige Faktorenfolgen
• Zwei didaktische Hilfsseiten und feste Lehrkräfteinformation
• Eine gemeinsame Schreiblinie für Name und Datum
• 16 PDF-Seiten im A4-Hochformat

Fachlicher Schwerpunkt und Lernziel

Die Kinder unterscheiden zwischen einer negativen Basis und einem Minus vor einer Potenz. Steht die negative Zahl in Klammern, wird diese ganze Zahl entsprechend dem Exponenten als Faktor wiederholt. Ohne diese Klammern wird zuerst die Potenz der positiven Basis berechnet und danach das vorgelagerte Minus angewendet.

Die Sammlung verbindet das Wissen über Potenzen aus dem bayerischen LehrplanPLUS Klasse 5 Realschule, Lernbereich M5 1.3, mit den Vorzeichenregeln für ganze Zahlen aus M5 2. Potenzschreibweise und Multiplikation ganzer Zahlen sollten bereits bekannt sein. Der Schwerpunkt liegt auf dem Lesen der Klammern und der Wirkung gerader beziehungsweise ungerader Exponenten.

So arbeiten die Lernenden

Zuerst lesen die Kinder die Basis, den Exponenten und vorhandene Klammern. Danach bestimmen sie die Faktorenfolge und berechnen den Wert. Bei einer geklammerten negativen Basis wird der negative Faktor mehrfach aufgeschrieben. Bei einem Minus vor der Potenz bleibt dieses Minus vor dem Produkt der positiven Faktoren stehen.

Bei (−3)² lautet die Faktorenfolge (−3) · (−3). Zwei negative Faktoren ergeben das positive Ergebnis 9. Bei −3² wird dagegen zuerst 3 · 3 gerechnet und anschließend das Minus angewendet. Das Ergebnis ist −9. Die freie weiße Fläche lässt Platz, diesen Unterschied mit eigenen Rechnungen festzuhalten.

Aufbau und Lernprogression

Arbeitsblatt 1 und 2 sind als Einstieg gekennzeichnet. Blatt 3 bis 7 dienen der Übung, Blatt 8 bis 10 der Vertiefung. Auf jedem Blatt werden A und B sowie C und D miteinander verglichen. A und B enthalten gerade Exponenten, C und D ungerade.

Zunächst kommen vor allem Quadrate und dritte Potenzen vor. Später werden auch vierte, fünfte, sechste und siebte Potenzen verwendet. Die Basisbeträge und Exponenten wechseln; die Anordnung der Vergleichspaare bleibt erhalten. Die Rechnung ist nicht bei jeder folgenden Einzelaufgabe schwerer. Entscheidend ist, das Verhältnis zwischen Klammerung, Vorzeichen und Exponent bewusst zu erkennen.

Differenzierung und Fördermöglichkeiten

Kinder mit Unterstützungsbedarf können zunächst die Basis kennzeichnen und den Exponenten als Anzahl gleicher Faktoren deuten. Danach wird die vollständige Faktorenfolge aufgeschrieben. Bei der negativen Basis lassen sich jeweils zwei negative Faktoren zu einem positiven Produkt zusammenfassen. Bei ungerader Anzahl bleibt ein negativer Faktor übrig.

Zur Vertiefung eignen sich mündliche Erklärungen zum Vergleich der beiden Schreibweisen. Lassen Sie die Kinder begründen, warum die Klammern bei einem geraden Exponenten das Ergebnis verändern. Bei ungeradem Exponenten sollen sie erklären, warum beide Ergebnisse negativ und gleich groß sind. Die späteren Aufgaben bieten dafür Faktorenfolgen mit vier bis sieben Faktoren.

Lösungen und Kontrolle

Prüfen Sie zuerst, ob die Klammern und der Exponent richtig gelesen wurden. Danach kontrollieren Sie die Anzahl und die Vorzeichen der ausgeschriebenen Faktoren. Erst anschließend wird der Betrag des Ergebnisses überprüft. So lässt sich ein Lesefehler von einem Fehler in der Multiplikation unterscheiden.

Die Lösungsseiten ordnen alle Antworten nach Blattnummer und Aufgabenkürzel. Die vollständigen Faktorenfolgen zeigen, worauf sich die Hochzahl bezieht. Bei den Termen ohne negative Basis steht das Minus vor einer Klammer mit positiven Faktoren. Andere fachlich richtige Rechenwege bleiben möglich. Entscheidend sind die richtige Deutung des Terms und der korrekte Wert.

Vorbereitung und Material

Benötigt werden die ausgedruckten Arbeitsblätter und ein Stift. Die Kinder können direkt in den großen weißen Feldern arbeiten. Zusätzliches kariertes Papier lässt sich bei Bedarf verwenden. Ein Taschenrechner ist für die vorgesehenen Aufgaben nicht erforderlich. Die Lösungsseiten können zunächst getrennt aufbewahrt und nach der eigenen Bearbeitung ausgegeben werden.

Warum dieses Material hilfreich sein kann

Die Aufgabenpaare halten Basisbetrag und Exponent gleich. Dadurch wird sichtbar, was allein die unterschiedliche Klammerung verändert. Bei geradem Exponenten sind die beiden Ergebnisse entgegengesetzt. Bei ungeradem Exponenten haben die beiden Terme denselben negativen Wert. Die Kinder können diese Beobachtung an mehreren Beispielen nachvollziehen.

Die großen weißen Rechenfelder unterstützen eigene Darstellungen. Es gibt keine vorgegebenen Zwischenschritte, die nur ausgefüllt werden müssen. Die Kinder können die vollständige Faktorenfolge notieren, negative Faktoren paarweise zusammenfassen und den Betrag berechnen. Dunkelblaue Schrift, blaue Konturen und zurückhaltende Limettenakzente führen den Zahlenkompass-Stil fort.